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- 上传时间:2012-11-16
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如果我们用k中颜色给12条边染色,而对每种颜色使用数目没有限制(前面zzwu试着解决的问题),那么使用群论中Polya定理就可以了。只要将上面所有x1,x2,x3,x4全部用k代替,然后将结果除以24就可以了,也就是说,用k中颜色给12条边染色的方案有
(k^12+6*k^7+3*k^6+8*k^4+6*k^3)/24种
但是对于本题中的问题,不但给定了使用颜色的总数目,而且对每种颜色使用的数目也做了限制,这种情况要复杂很多,可以使用
Cauchy-Frobenius-Burnside引理。
颜色的数目等于
{ Sum{|Fix(P)|}/|G|, for each P in G}
其中G就是这个有24个元素的群。
Fix(P)就是指满足下面条件的染色方案的数目:
对这个染色方案上的边使用置换P以后,得到的染色方案还是本方案(不发生变换)
也就是所,对于Fix(P)中的染色方案,所有在一个环中边被染上相同的颜色。
然后我们只要对P分成5中情况进行计算就可以了。
(k^12+6*k^7+3*k^6+8*k^4+6*k^3)/24种
但是对于本题中的问题,不但给定了使用颜色的总数目,而且对每种颜色使用的数目也做了限制,这种情况要复杂很多,可以使用
Cauchy-Frobenius-Burnside引理。
颜色的数目等于
{ Sum{|Fix(P)|}/|G|, for each P in G}
其中G就是这个有24个元素的群。
Fix(P)就是指满足下面条件的染色方案的数目:
对这个染色方案上的边使用置换P以后,得到的染色方案还是本方案(不发生变换)
也就是所,对于Fix(P)中的染色方案,所有在一个环中边被染上相同的颜色。
然后我们只要对P分成5中情况进行计算就可以了。
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